?

Log in

No account? Create an account

Entries by category: космос

По Попперу

(подслушано у А. Бекера, о котором в соседнем посте)
В околонаучных обсуждениях часто любят вспоминать про фальсифицируемость, что дескать теория лишь тогда научна, когда есть некий эксперимент или возможны некие наблюдения, которые бы могли ее опровергнуть, если вдруг покажут что-то ей противоречащее.
Вот, например, законы Ньютона в применении к движению планет. Они здорово описывали движение Земли, Марса, Юпитера и пр. Но не Урана. С Ураном был косяк, не вписывался. Что тогда сделали? Выбросили ньютоновскую механику как фальсифицированную? Нет, придумали добавить еще одну гипотетическую планету, движение которой влияло на Уран. Потом ее и правда нашли - Нептун.
Затем с Меркурием тоже вышел косяк, опять ньютоновская механика не описывала его орбиту точно. Ну, тут уже понятно было, что делать, еще одна планета - Вулкан. Но нет, в этот раз таки ньютоновскую гравитацию фальсифицировали, благо уже новую подвезли - общую теорию относительности.
Спасибо Квайну, он разъяснил: не получается никакую теорию ни верифицировать (привет позитивистам), ни фальсифицировать саму по себе, всегда теории завязаны на кучу других теорий и предположений, которые мы явно или неявно полагаем истинными. И когда какое-то наблюдение противоречит гипотезе А, это наблюдение запросто может быть вызвано не ложностью А, а ложностью другого предположения Б, на которое А опирается...

Black hole coin

Удобную монету выпустили англичане. Бывает, придешь в магазин и вдруг понимаешь, что забыл формулу для энтропии черной дыры. А так можно посмотреть на монетку в полфунта и напомнить себе.

Одно из центральных уравнений общей теории относительности - метрика Шварцшильда, описывающая простейшую черную дыру - незаряженную и невращающуюся. В координатах, похожих на полярные, она выглядит так:

Тут черная дыра находится в начале координат, имеет радиус r_s, и уравнение говорит нам, что если мы находимся в момент t в точке с координатами (r, θ, φ), то при перемещении на малюсенький вектор (dr, dθ, dφ) за dt координатных секунд на наших часах пройдет dτ секунд, это "proper time", инвариант, не зависящий от системы отсчета. Поскольку нас интересует чисто геометрия, и никакие аспекты времени мы не визуализируем, то можно убрать из рассмотрения время. И поскольку такая ЧД сферически симметрична, а мы научились визуализировать двумерные искривленные многообразия, то возьмем плоскость, проходящую через "экватор" ЧД, т.е. выбросим еще одну из угловых координат, оставим лишь радиус r и угол u.
Тогда останется метрика
ds^2 = 1/(1 - R/r) * dr^2 + r^2 * du^2
или
ds^2 = (1 + R/(r-R)) * dr^2 + r^2 * du^2
где ds - длина маленького вектора (dr, du) в точке (r, u), а R - радиус ЧД.

Давайте, как в предыдущих частях, сделаем поверхность, вложенную в евклидово 3D пространство функцией (u,r) -> (x,y,z). x и z будут просто получаться из полярных координат привычным образом
x = r*cos(u), z = -r*sin(u)
как на обычной плоскости в евклидовой геометрии, а y будет задаваться некоторой функцией от радиуса F(r). Т.е.
X(u,r) = [r*cos(u), F(r), -r*sin(u)]
Тогда базисные вектора получатся
Xu = [-sin(u) * r, 0, -cos(u) * r]
Xr = [cos(u), dF(r), -sin(u)]
и метрика будет
ds^2 = (1 + dF(r)^2) * dr^2 + r^2 * du^2
Т.е. мы получим в точности наше сечение Шварцшильдовской черной дыры, если
dF(r)^2 = R/(r-R)
где dF(r) - производная F(r) по r
Тогда dF(r) = √(R/(r-R))
это можно проинтегрировать, получим
F(r) = 2√(R*(r-R))
Т.е. взяв радиус ЧД за 1, получим поверхность как результат вращения ф-ии 2√(r-1).

Кто видел исходное уравнение Шварцшильда, помнит, что у горизонта событий коэффициент при dt стремится к нулю (время замедляется), а коэффициент при dr ровно ему обратен, и во столько же раз растет, стремится к бесконечности. Пространство растягивается ровно настолько же, насколько сжимается время. В вакууме соблюдается инвариантность 4-мерного элемента объема.
И действительно, на нашей поверхности в r = 1 (или r=R более общем случае) у нас эта поверхность становится вертикальной, dF(r) обращается в бесконечность, и значит элемент длины в радиальном направлении обращается в бесконечность там. Но значит ли, что путь к горизонту бесконечно долог? Нарисовав поверхность, становится очевиден ответ: путь до горизонта это просто путь по поверхности, т.е. вдоль графика 2√(r-1), а он не так уж длинен, хоть, конечно и несколько длиннее, чем было бы на плоскости.
И второе наблюдение: продолжить поверхность на r < R так просто не получается, там у нас корень из отрицательной величины. В некоторых роликах рисуют уходящую бесконечно вниз воронку. По-моему, это не совсем корректно. Уклон воронки уже на горизонте вертикален, а дальше... Я не возьмусь пытаться изобразить внутренность черной дыры.

Tags:

time

Посмотрев осенью Interstellar, я вспомнил, что давно хотел поближе познакомиться с general relativity, а то я кроме нескольких общих фраз о ней и не знал ничего почти. Ну и в общем увяз на всю зиму, очень тема увлекательная оказалась, торкает похлеще зависимых типов. Как тогда метко сказал levgem, "физика штырит сильнее химии". Популярные книжки и передачи крайне поверхностны и не отвечают на множество вопросов, пришлось нырнуть в атласы, карты, metric tensor, Christoffel symbols, covariant derivatives, Riemann curvature tensor, Ricci tensor и scalar, stress-energy tensor, Killing vectors, Schwarzschild solution, Kerr solution, вот это все. После сотен страниц литературы и десятков часов лекций начали появлятся зачатки понимания. Кое-какими находками и хочу поделиться.

Один вопрос меня живо интересовал, в частности. Вот говорится, что при приближении к черной дыре "время замедляется", и чем ближе к горизонту событий, тем сильнее. Для внешнего наблюдателя падающий в черную дыру корабль по мере приближения к горизонту будет двигаться все медленнее и медленнее и так никогда горизонта не достигнет. Т.е. не просто очень долго будет падать, а вообще _никогда_ не долетит до ЧД. (Будем считать черную дыру постоянной и забьем пока на эффект их испарения, это уже кванты.) А с точки зрения падающего в черную дыру, он туда таки упадет довольно быстро, пересечет горизонт событий и продолжит движение внутрь до самой сингулярности в центре. Read more...Collapse )

Tags: